Quanto è grande un insieme infinito?

Come promesso, in questo approfondimento cercherò di dimostrarti (nel modo più semplice possibile) che “alcuni infiniti sono più grandi di altri infiniti” ed al tempo stesso smentire le parole di Hazel affermando che tra 0 e 1, tra 0 e 2, tra 0 e 1 000 000 c’è la stessa “quantità” di numeri.

Partirò con il dimostrare la mia seconda ipotesi. Per far questo, prendendo in considerazione diversi insiemi numerici, devo introdurre un concetto fondamentale per la “teoria degli insiemi”: la cardinalità. Per cardinalità  (o potenza o numerosità) si intende, sia per insiemi finiti sia per insiemi infiniti, il numero di elementi di un dato insieme. Due, o più insiemi, hanno poi la stessa cardinalità se tra loro esiste un rapporto di corrispondenza biunivoca, ovvero se ogni elemento del primo insieme può essere associato ad un solo elemento di ogni altro insieme preso in considerazione. Da ciò si può dedurre che sarà sufficiente dimostrare che ogni numero tra 0 e 1 può essere associato ad un solo numero tra 0 e 2 o tra 0 e 1 000 000. Potrà mai essere possibile?? La risposta è, ovviamente, sì! Ad esempio, prendendo in considerazione i primi due insiemi, io posso associare un numero del primo insieme con il suo doppio nel secondo insieme (ad esempio 0–>0, 1–>2, 0,5–>1, ecc.) dato che essendoci infiniti numeri potrò sempre sempre trovare un numero del primo insieme da associare al suo doppio. La stessa cosa vale per il primo ed il terzo insieme (ad esempio 0–>0, 1–>1000000, 0,5–>500000, 0,25–>250000, e così via). Ho così dimostrato che questi insiemi, essendo in corrispondenza biunivoca, sono equicardinali ed hanno perciò lo stesso numero di elementi!
E allora perché accidenti dico che “alcuni infiniti sono più grandi di altri infiniti”?? Beh, dato che prima (non so se te ne sei accorto) per la dimostrazione ho considerato solamente parti dell’insieme dei numeri reali (R) ora mi basterà  prendere in considerazione un insieme più piccolo, come quello dei numeri naturali (N). Posso associare ogni numero naturale ad un numero compreso tra 0 e 1 (o tra 0 e 2, o tra 0 e 1 000 000??) La risposta questa volta è no! Vediamo alcuni esempi:
0—>0 (e fin qui ci siamo!
1—>0,1? 0,01? 0,001? o cosa?
E un numero reale come π/4 (sempre compreso tra 0 e 1) a quale naturale mai potrei associarlo??
Non è possibile: infatti l’insieme R o una qualsiasi sua parte ha più elementi dell’insieme N. Più elementi? Ma come? Entrambi hanno infiniti elementi!
Sì, è vero, però “alcuni infiniti sono più grandi di altri infiniti”!!!

Arrivato a questo punto sarai contento di scoprire che la mia lezione di matematica è finita! Spero di non averti annoiato troppo o di essere stato un po’ ripetitivo, ma sono sicuro che tutto ciò ti sarà utile e  adesso potrai dire di conoscere un po’ più questo “oscuro mondo” che è la matematica!
Se ti servono maggiori chiarimenti riguardo ai contenuti o vuoi approfondire l’argomento vai alla pagina di Wikipedia sulla “Cardinalità” degli insiemi.

Vorrei inoltre scusarmi con tutti i matematici che leggendo questo articolo sono rimasti offesi per l’utilizzo di un lessico poco “matematico” e/o di esempi un po’ troppo “terra terra”, ma ovviamente devo pensare anche a chi la matematica non la “mastica” ogni giorno (né magari molto volentieri)!

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